Si tuvieras que arrojar una cucharada de masa para galletas en el espacio directamente hacia el sol, ¿cuánto tiempo tardaría la masa en convertirse en una galleta completamente horneada? Supongamos que se encuentra en órbita alrededor de la atmósfera terrestre, y arroja la galleta hacia el sol a 25 mph.

Podemos abordar este problema haciendo primero una pregunta más general: ¿Cuál es la temperatura frente al tiempo de un trozo de masa para galletas en órbita alrededor del sol? Luego podemos ver diferentes órbitas y ver si podemos lograr las condiciones necesarias para hornear una galleta. (Supongamos que estamos lo suficientemente lejos de la tierra como para descuidar la atmósfera. Digamos, en la luna).

Para saltar a las conclusiones, el problema general es que para hornear una galleta, desea colocar la temperatura en una ventana de temperatura bastante estrecha durante un tiempo corto. Por lo que sé, no es bueno “cocinar lento” una galleta. Las órbitas típicas alrededor del sol que comienzan en la tierra, como era de esperar, toman el orden de un año. Por lo tanto, incluso si diseña una trayectoria que calienta la cookie hasta la temperatura adecuada, pasará muchos días a temperaturas ligeramente más bajas. Eso no suena como si fuera a producir una sabrosa galleta. La única forma que puedo encontrar para que funcione es disparar la cookie a velocidades que son una fracción significativa de la velocidad de la luz. Esto no es posible con la tecnología actual. También plantea el problema de recuperar la cookie una vez horneada, ya que abandonará rápidamente el sistema solar y nunca volverá.

Primero, calculemos la distancia r (t) de la masa de las galletas al sol en función del tiempo. Esto se puede encontrar resolviendo numéricamente las ecuaciones diferenciales acopladas que obtenemos de la ley de Newton F = ma en coordenadas polares (r, theta), donde la fuerza es la fuerza gravitacional del sol:
[math] \ ddot {r} -r \ dot \ theta ^ 2 = – \ frac {GM} {r ^ 2} [/ math]
y
[math] r \ ddot {\ theta} +2 \ dot {r} \ dot \ theta = 0 [/ math],
donde M es la masa del sol y G es la constante gravitacional.

Hice esto usando Mathematica, con la distancia inicial r (0) el radio de la órbita de la tierra, y la velocidad inicial v0, orientada en el ángulo phi0 medido con respecto a la línea que conecta la tierra y el sol.

En segundo lugar, debemos calcular la temperatura de la masa en función del tiempo a medida que avanza en la trayectoria calculada anteriormente. La transferencia de calor a la masa se producirá mediante la absorción de la luz del sol, lo que dará como resultado la absorción de la energía por la galleta (energía por tiempo):
[matemáticas] P_ {in} = \ frac {P_s A_1} {4 \ pi r ^ 2} [/ math],
donde Ps es la potencia de salida total del sol y A1 es el área de la sección transversal de la galleta que mira al sol.

La transferencia de calor de la masa se producirá a través de radiación de cuerpo negro:
[matemáticas] P_ {out} = A_2 \ sigma_B T ^ 4 [/ math],
donde A2 es la superficie total de la cookie, y [math] \ sigma_B [/ math] es la constante de Stefan-Boltzmann.

Así podemos establecer una ecuación diferencial para T ‘(la tasa de cambio de temperatura T) en términos del calor específico C de la masa para galletas, la potencia total del sol Ps y la forma y el tamaño de la bola de masa. La forma y el tamaño entran en juego de varias maneras. En primer lugar, más masa significa mayor capacidad de calor. En segundo lugar, el área de sección transversal más grande frente al sol significa más calor absorbido. En tercer lugar, un área de superficie mayor significa que se irradia más calor a través de la radiación del cuerpo negro. Consideremos un trozo esférico de masa para galletas con la densidad del agua, el calor específico del agua y el radio de 2 cm. (También supondré que la masa para galletas es un cuerpo negro perfecto, que absorbe por completo todas las longitudes de onda de la luz. Por supuesto, la validez de esta suposición dependerá del tipo de galleta. Una galleta de color oscuro, como la de chocolate y chocolate, ser un cuerpo negro más ideal que, por ejemplo, la mantequilla de maní. Pero esto probablemente solo cambie la respuesta en un factor de 2 o más).

La ecuación diferencial para la temperatura es
[matemáticas] T ‘= \ frac {r_c ^ 2} {C} \ left (\ frac {P_s} {4r ^ 2} – 4 \ pi \ sigma_B T ^ 4 \ right) [/ math]
donde r_c es el radio de la cookie, y A1 y A2 se calculan teniendo en cuenta la forma esférica de la cookie. Nuevamente, podemos resolver esto numéricamente usando Mathematica, con la condición inicial T = 275 K = 2 C.

Las recetas típicas de galletas implican un tiempo de cocción de 10-15 minutos a unos 200 grados. C. Por lo tanto, buscaremos una trayectoria que mantenga la temperatura muy por debajo de este nivel, con la excepción de un intervalo de tiempo de aproximadamente 10-15 minutos.

Primero veamos las trayectorias donde arrojamos la cookie tangencial a la órbita de la tierra (es decir, a lo largo o en contra de la dirección del movimiento de la tierra). A continuación se muestra una gráfica de cuatro de estas órbitas. Uno muy cerca de la órbita de la tierra, dos órbitas que se acercan más al sol, y una que va muy lejos del sol. El segundo gráfico muestra la distancia del sol, r frente al tiempo. La órbita que está cerca de la circular se mantiene aproximadamente a la misma distancia, la órbita que va muy lejos se sale rápidamente de la escala de la trama y las dos órbitas más cercanas se acercan periódicamente al sol.

El tercer gráfico muestra la temperatura resultante como una función del tiempo para estas trayectorias. Como era de esperar, la masa de galletas que sigue aproximadamente la órbita de la tierra se mantiene alrededor de la temperatura de la tierra (alrededor de 0 grados C). La órbita que se aleja del sol se enfría hacia el cero absoluto (-273 C). Los dos que se acercan al sol son lo que estamos buscando, con un período de altas temperaturas. Claramente, la curva azul se calienta demasiado: la galleta se carbonizará terriblemente a 800 grados C. La curva púrpura parece más prometedora, alcanzando un punto justo por encima del objetivo de 200 grados. C. El único problema es que puede notar que la escala de tiempo se encuentra en cientos de miles de minutos. Por lo tanto, la cantidad de tiempo que la cookie se horneará alrededor de 200 C será del orden de días. Nuevamente, la cookie será exageradamente exagerada. Este es un problema general: las escalas de tiempo involucradas en las órbitas alrededor del sol son típicamente del orden de un año, mientras que las escalas de tiempo involucradas en las cookies de cocción son del orden de minutos.

Una forma de superar esta falta de coincidencia en escalas de tiempo es acortar enormemente el tiempo que la galleta pasa cerca del sol arrojándolo más allá del sol a una velocidad extraordinariamente alta (como en una fracción significativa de la velocidad de la luz). La siguiente figura muestra cuatro escenarios con diferentes velocidades iniciales, que van desde una décima a una tercera velocidad de la luz. En cada caso, la cookie se lanza a un ángulo de 9 grados del sol. Aquí, las trayectorias están una encima de la otra y parecen líneas completamente rectas. La cookie va tan rápido en todos los casos que la atracción gravitacional del sol tiene poco efecto en la trayectoria. El segundo gráfico nuevamente muestra la distancia del sol frente al tiempo, y el tercer gráfico muestra la temperatura frente al tiempo. A la velocidad inicial más alta (10 ^ 8 m / s), las cosas comienzan a parecer prometedoras. Aquí se tarda unos 10 minutos en calentarse, se mantiene alrededor de 200 ° C durante unos 10 minutos y luego se enfría en el transcurso de unos 45 minutos. Esto no es muy diferente de lo que sucede cuando horneas una galleta.

Es posible que las cosas se puedan mejorar alterando la geometría de la cookie. Si tuvieras que aumentar el área total de la superficie de la galleta mientras mantienes al mínimo el área de la sección transversal presentada al sol, entonces la temperatura de equilibrio sería generalmente más baja y el enfriamiento se produciría más rápido. Por ejemplo, puede lograr esto moldeando la masa para galletas en una forma con muchas aletas estrechas, como en un disipador de calor para productos electrónicos.