Si mis papas se han vuelto viejas y un poco blandas, ¿hay alguna forma de usarlas, o deberían arrojarlas?

Sí, puedes usarlos si acaban de marchitarse; si se han vuelto blandos, puedes comerlos cortando estos trozos, y un poco más por seguridad (los microbios pueden alejar a los patógenos de los puntos que han infectado a largo plazo).

Como las papas se ablandarán sin importar cómo las cocines y tienden a absorber mucho sabor del plato en el que se encuentran, no creo que haya una diferencia apreciable en su sabor / sensación en la boca. Pero es probable que sea mejor ponerlos en una sopa o guiso en lugar de ensalada de papas, donde es posible que desee papas en el lado más firme.