¿Hay algún material del que puedas hacer una taza, llenarlo con agua, calentarlo en el microondas y hacer que el agua salga más fría de lo que estaba al principio?

No.
Las microondas hacen vibrar las moléculas de agua, lo que aumentaría la temperatura del agua. Ese es el principio de funcionamiento completo de un horno de microondas.
Para disminuir la temperatura del agua, necesitarías algo que esté a una temperatura más baja que el agua, para absorber el calor del agua.
Cualquier tazón: a) Se calentará ob) se mantendrá casi a la misma temperatura cuando se irradie con microondas.

La única forma en que esto sucederá es si la taza es algún tipo de dispositivo eléctrico que funciona con energía de microondas; tiene blindaje para que el agua evite el calentamiento directo; y que bombea el calor fuera del agua y lo disipa en el aire.

Una especie de configuración elaborada de Rue-Goldberg para enfriar un poco de agua, y será más lenta que un congelador también.

Cualquier material no eléctricamente conductivo formado en una taza con suficiente masa y luego enfriado suficientemente por debajo de la temperatura inicial del agua, seguido por microondas durante un tiempo suficientemente corto producirá el resultado deseado. Has dejado demasiado abierto para dar una respuesta más significativa que la que es físicamente posible.