¿Cuál es la regla del coseno?

Usando la fórmula de distancia

Considere un triángulo con lados de longitud a, b, c, donde θ es la medida del ángulo opuesto al lado de la longitud c. Este triángulo se puede colocar en el sistema de coordenadas cartesianas trazando los siguientes puntos, como se muestra en la Fig. 4:

A = (b cos ⁡ θ, b sen ⁡ θ), B = (a, 0) y C = (0, 0). {\ displaystyle A = (b \ cos \ theta, \ b \ sin \ theta), \ B = (a, \ 0), \ {\ text {y}} \ C = (0, \ 0) \ ,. }

Por la fórmula de distancia, tenemos

c = (a – b cos ⁡ θ) 2 + (0 – b sin ⁡ θ) 2. {\ displaystyle c = {\ sqrt {(ab \ cos \ theta) ^ {2} + (0-b \ sin \ theta) ^ {2}}} \ ,.}

Ahora, solo trabajamos con esa ecuación:

c 2 = (a – b cos ⁡ θ) 2 + (- b sin ⁡ θ) 2 c 2 = a 2 – 2 ab cos ⁡ θ + b 2 cos 2 ⁡ b + b 2 sen 2 ⁡ 2 c 2 = a 2 + b 2 (sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ cos) – 2 ab cos ⁡ θ c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos ⁡ θ. {\ displaystyle {\ begin {aligned} c ^ {2} & {} = (ab \ cos \ theta) ^ {2} + (- b \ sin \ theta) ^ {2} \\ c ^ {2} & {} = a ^ {2} -2ab \ cos \ theta + b ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + b ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \\ c ^ {2} & {} = a ^ {2} + b ^ {2} (\ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2} \ theta) -2ab \ cos \ theta \\ c ^ {2} & {} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ theta \,. \ end {aligned}}}

Una ventaja de esta prueba es que no requiere la consideración de diferentes casos para cuando el triángulo es agudo vs. derecho vs. obtuso.

Cos θ = adyacente / hipotenusa