En primer lugar, es una terrible pesadilla logística y ética. Teniendo en cuenta que los hemos dejado de lado, tenemos que empezar asumiendo que la persona es una gran esfera de cierto radio [matemática] a [/ math]. (Sí, ¡a los físicos les encanta aproximarse a las esferas!)
Algunas aproximaciones matemáticas estándar (Pase al último párrafo si solo está interesado en el resultado final):
Necesitamos encontrar la temperatura en la superficie como una función del tiempo. El humano está inicialmente a la temperatura [matemática] T_0 [/ math]
Ahora, después de unos segundos, las condiciones de límite de temperatura son:
[matemáticas] T (0,0) = T_1 [/ math]
[matemáticas] T (a, 0) = T_0 [/ math]
Esto se debe a que un microondas se calienta principalmente desde el interior. A diferencia de un horno, el microondas primero calentará el centro y este calor se difunde por el resto del cuerpo. (Probablemente ya hayas notado que al calentar algo en el microondas. ¡Incluso si el exterior está a temperatura ambiente, el interior es una tubería!) Ahora tanto [matemáticas] T_0 [/ math] y [math] T_1 [/ math] son funciones de tiempo.
[math] T_1 [/ math], la temperatura en el centro depende directamente de las configuraciones del microondas, mientras que [math] T (a, t) [/ math] dependerá de la tasa de difusión térmica desde el centro a la superficie .
Calcular [matemáticas] T_1 [/ math] es dudoso y depende de tener en cuenta la pérdida de calor por las tasas de evaporación del agua y luego extrapolar. Sin embargo, para nuestras escalas de tiempo, podemos considerar que [math] T_1 [/ math] es más o menos constante.
Ahora, la ecuación de difusión térmica para una esfera en estado estacionario nos da: (T es la temperatura)
[matemáticas] \ nabla ^ 2 T = 0 [/ math]
Esto debería darnos una solución general de la forma:
[matemáticas] T = A + B / r [/ math]
con [math] r [/ math] como la coordenada radial.
Por lo tanto, inspirados por la solución de estado estacionario, podemos escribir:
[matemáticas] T (r, t) = T_0 + B (r, t) / r [/ math]
Por lo tanto, [math] B (r, t) [/ math] se puede escribir como [math] r (T-T_0) [/ math]
Esto nos da:
[matemáticas] \ frac {dB} {dt} = D \ frac {\ partial ^ 2 B} {\ partial r ^ 2} [/ math]
donde [matemáticas] D = \ frac {\ kappa} {C} [/ math]
[math] D [/ math], la difusividad térmica está dada por la relación de conductividad a la capacidad de calor específica. (En realidad, es la Capacidad de Calor por unidad de volumen para pedantes. Pero como los humanos son en su mayoría agua, el peso y el volumen se cancelan).
Estoy compuesto de una proporción bastante buena de pereza (aproximadamente [matemáticas] 80 \% [/ math]) así que me salteo unos pocos pasos, lo que significa que no necesitaría escribir varias líneas de ecuaciones en [matemáticas] \ LaTeX [/mates]. Baste decir que aquí estoy simplemente convirtiendo la ecuación de difusión térmica en el caso estándar 1-D que es más fácil de resolver.
Esto nos da [matemáticas] B (0, t) = B (a, t) = 0 [/ math], las 2 condiciones de contorno. También [matemáticas] B (r, 0) = r (T_1-T_0 [/ math]), ya que [matemáticas] T = T_1 [/ math] en t = 0. (es decir, la temperatura en el centro debido al microondas)
Y retroalimentando estas ecuaciones a nuestra ecuación de difusión, obtenemos una solución del tipo que se da a continuación. La solución general implicará la ampliación de estos términos con algunos coeficientes.
[math] B_n = \ sin (n \ pi r / a) e ^ {- D (n \ pi / a) ^ 2 t} [/ math]
[math] B (r, t) = \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} A_n \ sin (n \ pi r / a) e ^ {- D (n \ pi / a) ^ 2 t} [ /mates]
Del mismo modo, podemos obtener los coeficientes [matemáticos A_n [/ math]. En realidad, implica escribir la expansión con [math] A_n [/ math] para t = 0 y usar la condición de ortogonalidad. [matemáticas] A_n [/ math] viene a [matemáticas] \ frac {2a} {n \ pi} (T_1-T_0) (- 1) ^ {(n + 1)} [/ math]
Combinando ambos [matemáticos] A_n [/ math] y [math] B [/ math] [math] _n [/ math], finalmente obtenemos para la superficie del cuerpo humano, temperatura como:
[matemáticas] T (a, t) = T_0 + \ frac {2a} {\ pi} (T_1-T_0) \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {(n + 1) )}} {n} \ sin (n \ pi) e ^ {- D (n \ pi / a) ^ 2 t} [/ math]
Entonces, ahora vamos a conectar algunos valores. [matemáticas] T_0 [/ math], la temperatura corporal promedio es [matemática] 37 ^ {\ circ} [/ math] C.
Al examinar con cautela las cifras de la conductividad térmica humana y la capacidad de calor, anoté algunas cifras. Una vez más, al conectar esos valores obtenemos: [math] D = 0.543 / 3470 = 1.6 \ times 10 ^ {- 4} [/ math].
Estimé que el ancho promedio del pecho, [math] a [/ math] es de 1 m de las figuras disponibles.
Ahora poniéndolos de vuelta:
[matemáticas] T (1, t) = T_0 + 0.63 (T_1-T_0) \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {(n + 1)}} {n} \ sin (n \ pi) e ^ {- 1.6 \ times 10 ^ {- 4} (n \ pi) ^ 2 t} [/ math]
Conclusión:
El término exponencial es extremadamente pequeño. El segundo término solo comienza a tener mucha importancia cuando [math] t \ approx 10 ^ 3 [/ math] segundos o aproximadamente 17 minutos o más, lo que significa que se necesita al menos 1/4 de una hora para que la temperatura en la piel comienza a mostrar algunos cambios significativos. Por lo tanto, bajo las aproximaciones hechas, debería tomar más de 17 minutos cocinar completamente a un humano vivo para temperaturas suficientemente mayores que [math] 37 ^ {\ circ} [/ math] C independientemente de las configuraciones del microondas.
Por lo tanto, vemos que la frecuencia de tiempo para freír al humano depende principalmente de [matemáticas] T_1 [/ math] y, por lo tanto, de la velocidad a la que el microondas calienta el centro del ser humano. Aunque no se han tenido en cuenta otros efectos como las corrientes superficiales debido a la variación del campo eléctrico y magnético aparte de una intensa quema en el centro (que probablemente no sea una experiencia agradable), estos podrían desempeñar un papel importante en el calentamiento. De cualquier manera, se evaporaría lentamente de adentro hacia afuera mientras su cuerpo se drenaba y calentaba al mismo tiempo. El cuerpo humano tiene aproximadamente un [\ math] 80 \% [/ math] de agua y lo que quedará de él en el microondas probablemente sea un desastre para la morgue.
Junto con cualquier arma en la que se hayan sentado. 
